计算机图形学（一）：辐射度量学

辐射度量学（$Radiometry$）

辐射度量学是基于物理光照的基础，是基于几何光学来定义的，提供了精准的关于光的各种物理量，光与物体表面的作用，光线传播方法的定义等。辐射度量学是反射方程、渲染方程的基础。

1.辐射能量（$Radiant\;energy$）

在辐射度量学中最基本的单位是辐射能量，表示为$Q$,单位是$J(焦耳)$，辐射能量$Q$以辐射的形式发射，传播或接收的能量。每个光子都携带一定的能量，这个能量正比于它的频率：

$Q = hv$

其中$h = 6.62620\times (10^{-34})J$.光子的频率（或者说能量）影响着光子与物体表面的交互，更重要的是，它影响着光与感应器之间的作用，使不同频率的光被察觉为不同的颜色。

2.辐射通量（$Radiant\;flux$）

图形学的数学基础（十五）：贝塞尔曲线

贝塞尔曲线($Bézier\;curve$)

用一系列控制点定义的曲线,如下图所示:曲线由四个控制点定义(三阶贝塞尔曲线),从$P_0$开始,沿着$P_0-P_1$切线方向行进,结束时沿着
$P_2-P_3$方向,结束于$P_3$点。

参数方程-$de\;Casteljau\;Algorithm$

首先考虑由三个控制点组成的二次贝塞尔曲线（ $quadratic\;Bézier$）：

假设有一颗沿着曲线运动的小球，当$t = 0$,球体在$b_0$点，当$t = 1$，球体在$b_1$点 定义曲线关于时间$t$的参数方程，实质上就是求在任意时间$t$（$0<=t<=1$）,球体的位置。这就是$de\;Casteljau$算法的核心思想，将曲线方程转换成了求一个点位置。

求解步骤：

图形学的数学基础（十四）：插值

线性插值（$Linear\;Interpolation$）

在图形学领域插值是一项广泛应用的技术，多数时候，数据是在规则网格上生成的（值写在 2D 或 3D 网格的顶点位置）或在一条线上（在 1D 情况下），但是程序需要计算任意一点的值。如果采样点刚好落在网格顶点处，那么可以读取数值直接使用，但是如果采样点落在其他地方，考虑到那里并没有存储数值，我们需要基于周围顶点计算数值。这种技术称为插值，因为其关键思想是“插值”，通过固定网格顶点的现有值计算网格上其他任意位置的值。

在二维中这种技术叫双线性插值，与之对应的三维插值称为三线性插值。“线性插值”是一种类似于以下形式的方程：

$a(1-t) +bt\;\;\;with\; 0 <=t\;<=\;1$

其他形式的线性插值都是以此为基础的。

插值技术通常用于图像处理（例如上采样/下采样）。 三维空间也可以使用3D或2D网格（纹理可以看作2D网格），例如流体模拟、体积渲染、纹理映射和辐照度缓存等等，无论何时涉及网格，通常也需要插值技术。

双线性插值（$Bilinear\;Interpolation$）

图形学的数学基础（十三）：立体角

介绍

立体角，常用字母$\Omega$表示，是一个物体对特定点在三维空间中的角度表示，是平面角在三维空间中的扩展。因此，立体角是单位球面上的一块面积，这和“平面角是单位圆上的一段弧长”类似。

平面角

平面角等于张角对应圆上的弧长除以圆的半径，即：

$\theta = \dfrac{l}{r}$

而圆的周长等于$2\pi{r}$,因此完整圆
对应的角度为：

$\dfrac{2\pi{r}}{r} = 2\pi\;\;radians$

图形学的数学基础（十二）：几何图元-包围盒($Bounding Box$)

包围盒是一种求解离散点集最优包围空间的算法,基本思想是用体积稍大且特性简单的几何形状来近似代替复杂的几何对象。包围盒常用于几何物体的碰撞检测，ray-tracing中光线求交等。常用的包围盒有两种，$AABB与OBB$，AABB包围盒是轴对齐的，而$OBB$是有向的。

$AABB$

$AABB$是$Axially\;Aligned\;Bounding\;Box$的缩写，三维$AABB$是一个简单的6面盒子，每一面都与一个基向量形成的面平行，这个盒子不一定是立方体，盒子的长度宽度高度可以各自不同。

重要属性

几何体$AABB$包围盒内的点满足以下不等式：

$x_{min} <= x <= x_{max}$

$y_{min} <= y <= y_{max}$

$z_{min} <= z <= z_{max}$

图形学的数学基础（十一）：几何图元-重心坐标

定义重心坐标($Barycentric\;Coordinates$)

对于空间内的三角形$\triangle{v_1v_2v_3}$和任意一点$\textbf{p}$，必定唯一存在三个数$b_1,b_2,b_3$,满足：

$b_1+b_2+b_3 = 1$

$\textbf{p} = b_1\textbf{v}_1 + b_2\textbf{v}_2+ b_3\textbf{v}_3$

则$b_1,b_2,b_3$就称为$\textbf{p}$点在此三角形$\triangle{v_1v_2v_3}$上的重心坐标.

重心坐标表示了三角形每个顶点对该点的权重（贡献），重心坐标可以用来三角形光栅化顶点的属性插值，比如说uv 颜色 法线的线性插值。

重心坐标也是一种坐标系统，类似于普通笛卡尔坐标系，但有一个区别就是，重心坐标的三个分量之和为1：

图形学的数学基础（十）：几何图元-三角形

三角形在图形学中具有重要意义。复杂三维对象的表面都是由庞大三角形网格组成（$Triangle\;Mesh$），本章将介绍三角形基本属性，重点是重心坐标。

定义

定义一个三角形，只需要三个顶点即可，这些点的顺序至关重要，因为它们的顺序决定了三角面的正反，在右手系中，当从三角形正面看时，通常按逆时针方向枚举点（右手螺旋定则）。

边向量，边长 顶点定义如下：

$\vec{e_1} = \textbf{v}_3 - \textbf{v}_2$

$\vec{e_2} = \textbf{v}_1 - \textbf{v}_3$

$\vec{e_3} = \textbf{v}_2 - \textbf{v}_1$

图形学的数学基础（九）：几何图元-球体圆形和平面

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球体和圆形

球体是一个三维对象，定义与给定点具有固定距离的所有点的集合。从球体中心到点的距离称为球体半径（$Radius$），球体的直接表示方式是描述其中心$\textbf{c}$和半径$r$。

球体的隐式表述

$||\textbf{p} - \textbf{c}|| = r$

$(x-x_c)^2 + (y-y_c)^2 + (z-z_c)^2 = r^2$

重要属性

• 直径 $D = 2r$
• 圆周长 $C = 2\pi{r}$
• 圆面积 $A = \pi{r^2}$
• 球体表面积 $S = 4\pi{r^2}$
• 球体体积 $S = \dfrac{4}{3}\pi{r^3}$

几何图元-直线和光线

几何表述

在计算机图形学中，描述几何形状的主要策略有两大类：隐式几何和显示几何。

隐式几何（$implicit\ Geometry$）

通过隐函数的方式描述一个对象,一般采用$f(x,y,z) = 0$的定义方式，告诉了我们$x,y,z$需要满足的关系。例如对于三维空间以原点为圆心的单位球可以这表示：

$x^2+y^2+z^2 = 1$

隐函数形式可以方便的通过将点带入函数，判断点是否在几何表面上，之内或之外。但是隐函数无法直观的告诉有哪些点是满足这种关系的。

隐式几何代表：

图形学的数学基础（七）：极坐标系

笛卡尔坐标系不是精确绘制空间和定义位置的唯一坐标系统。笛卡尔系统的替代方案是极坐标系($Polar\;Coordinate\;System$)

二维极坐标系

二维笛卡尔坐标系有一个原点和两个穿过原点的轴$（x，y）$。二维极坐标空间也有一个原点，称为极点（$Pole$）-定义了坐标空间的中心,不同的是,极坐标系只有一个轴,称为极轴（$Polar\; Axis$）,

定义

在极坐标系中,我们通常用$(r,\theta)$定义一个点,r为距离原点的长度,$\theta$为相对于极轴旋转的角度(逆时针方向).

别名